Точки A и C лежат по разные стороны от прямой…

(5) (6). Сумма всех плоских углов всех граней тетраэдра равна сумме углов четырех треугольников, т.е. 720o, поэтому, если суммы углов при каждой вершине равны, то каждая из этих сумм равна 180o. Обратное 6) (5) – очевидно. (4) (8). Если R – радиус описанной около тетраэдра сферы, r – радиус вписанной сферы и центры этих сфер совпадают (рис.1), то точка касания сферы с каждой гранью лежит лежит внутри этой грани и удалена от каждой вершины треугольника на расстояние, т.е. является центром описанной около этого треугольника окружности радиуса. (8) (4). В любом тетраэдре перпендикуляры, опущенные из центра O описанной сферы на грани (рис.1), попадают в центры описанных окружностей, и если радиусы этих окружностей равны R1, то точка O одинаково удалена от всех граней (на расстояние), а т.к. все грани – остроугольные треугольники, то O – центр вписанной сферы. (8) (6). Если радиусы описанных окружностей граней ABC и DBC тетраэдра ABCD равны, то BAC=BDC, поскольку эти углы острые и опираются на равные дуги BC в равных окружностях (рис.2). Аналогично для всех пар смежных граней. Таким образом, BDC+CDA+ADB=BAC+CBA+ACB=180o.