Все стороны пятиугольника равны между собой

Если обозначить отрезки от вершин до точек касания х 1 х 2 х 3 х 4 х 5, а сторону а, тох 1+ х 2=а; х 2+ х 3=а; х 3+ х 4=а; х 4+ х 5=а; х 5+ х 1=а; вычитая, например, второе из первого, получаем х 1=х 3; а если вычесть из пятого первое, то x2=x5; третье и четвертое дают х 3=х 5; второе и третье х 2=х 4; вообще-то мы уже доказали, что все отрезки, на которые делит вписанная окружность стороны пятиугольника, равны между собой. Отсюда автоматически следует равенство всех углов пятиугольника (интересно, мысль сработает?). Поэтому окружность можно вписать только в правильный пятиугольник.