Вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности…

Вот ничего задачка, «пятиминутка» (в смысле, что для решения надо потратить сколько то времени, ну хоть 5 минут) Пусть М — точка пересечения диагоналей. Угол ВМА=угол CAD+ угол BDA; угол САD=угол САВ (АС — биссектриса); угол САВ=угол CDB; поэтому угол ВМА=угол CDA; Конечно, угол СВА=180 — угол CDA=угол DMA; если сумма углов 180 градусов, то синусы у них равны. Осталось выразить площадь четырехугольника через диагоналиS=BD*AC*sin (Ф) /2 (Ф=угол ВМА=угол CDA=180 — угол СВА=180 — угол DMA) — это легко получить, просто сложив (MD*AM+MB*AM+MB*MC+MC*MD)*sin (Ф) /2; и — то же самое — через стороны четырехугольникаS=(CD*AD+AB*BC)*sin (Ф) /2; отсюда сразу получается нужное соотношение.