Координатный метод. (*некоторые результаты, вроде того, что угол CAD=30°; — я привожу без пояснений и «доказательств», предполагается, что вам известны углы между диагоналями и их размеры в правильном шестиугольнике). Начало координат в точке А, ось X вдоль AD, ось Y в плоскости основания перпендикулярно AD, ось Z — вдоль АА1. Еще я обозначу R=2 (по смыслу это радиус описанной вокруг шестиугольника окружности). Кроме того, пусть К — проекция точки N на AD. Плоскость NA1D пересекает ось Х в точке (4, 0, 0) и ось Z в точке (0, 0, 4). Кроме этого, она проходит через точку N. Координаты точки N (Nx, Ny, 0); Ny=NK равно половине высоты трапеции ABCD, то есть Ny=(R*√3/2) /2=√3/2; отсюда Nx=АК=3/2 потому что угол CAD равен 30°Чтобы построить уравнение плоскости NA1D, лучше всего найти координаты точки Q (0, q, 0), в которой прямая DN пересекает ось Y. Это проще, чем высчитывать определитель, задающий уравнение плоскости через координаты точек A1, D и N. Треугольники QAD и NKD подобны, поэтому AQ/AD=NK/KD; q/4=(√3/2) / (4 — 3/2); q=4√3/5; То есть координаты точки Q (0, 4√3/5, 0); Уравнение плоскости A1QD (она же — плоскость NA1D) теперь записывается автоматическиx/4+y/ (4√3/5)+z/4=1 если не понятно, как это получается — легко проверить, что точки (4,0,0) (0,4√3/5,0) и (0,0,4) удовлетворяют этому уравнению, а через три точки можно провести только одну плоскость). Это уравненние можно записать в виде скалярного произведения rp=1; r=(x,y,z); это радиус-вектор точки плоскости (то есть его абсолютная величина равна расстоянию от А до точки плоскости).p=(1/4, 5/4√3, 1/4); Теперь задается вопрос «при каком r его длина минимальна? ". В такой постановке сразу ясно, что r коллинеарен (параллелен, пропорционален) p, поскольку при любом другом положении r его длина больше — так как косинус угла между r и p будет меньше 1). В этом случае rp=1 абсолютные величины!) и r=1/p; То есть для получения ответа осталось вычислить p=IpI; p=√ (1/4) ^2+(1/4) ^2+(5/4√3) ^2)=√155/20; а искомое расстояние равно 4√155/31. Проверяйте, может я в числах где ошибся.
