Между ab и abc угол равен 0 (ab лежит в плоскости abc). Вот найти угол (обозначу его Ф) между ae и abc — это интересная задача. Я бы не стал решать эту задачу, если бы у нее не было совершенно фантастической красоты МЕТОДА решения. Так-то ее технически ничего не стоит сделать. Я специально поменяю обозначения. Обычно это признак неквалифицированного подхода, но в данном случае это диктуется методом решения. Если автору не понравится способ решения — обратитесь к модератору, он это удалит Итак. Берется КУБ abcda1b1c1d1. Трехмерная фигура с вершинами a1bc1d — тетраэдр (это треугольная пирамида, у которой все грани — равносторонние треугольники). Поскольку (например) фигура cc1bd — тоже правильная пирамида (хотя и не тетраэдр), то вершина с проектируется на плоскость bdc1 в центр равностороннего треугольника bdc1. Точно так же — в ту же точку — проектируется на плоскость bdc1 и вершина a1 тетраэдра. Получается, что и а 1 и с лежат на ОДНОЙ прямой, перпендикулярной bdc1. То есть БОЛЬШАЯ ДИАГОНАЛЬ a1c КУБА abcda1b1c1d1 перпендикулярна плоскости треугольника bdc1 и пересекает ее в центре этого треугольника. Само собой, все остальные большие диагонали куба тоже перпендикулряны граням тетраэдра a1bc1d, и тоже проходят через центры граней. Поэтому Углу Ф соответствует угол между ДИАГОНАЛЬЮ КУБА bd1 и плоскостью bdc1. Поскольку все диагонали пересекаются в центре куба «о», то искомый угол равенФ=90° — Ф1, где Ф1 — угол между любыми двумя БОЛЬШИМИ ДИАГОНАЛЯМИ КУБА. (если из центра о, принадлежащего bd1 опустить перендикуляр на bdc1, этот перпендикуляр будет — как я только что доказал — частью диагонали куба a1c, отсюда это и получается). На этом можно было бы красоты завершить, и свести задачу к техническому вычислению этого угла. Но можно и добавить красот Дело в том, что расстояние от a1 до плоскости bdc1 в два (в 2) раза больше, чем от c до этой же плоскости. То есть плоскость bdc1 делит a1c в пропорции 2/1, считая от вершины a1. Это очень просто увидеть, если провести плоскость b1d1a, которая параллельна плоскости bdc1 (потому что обе перпендикулярны a1c), и заметить, что отрезок диагонали a1c от a1 до плоскости b1d1a равен отрезку этой диагонали между плоскостями b1d1a и bdc1. В самом деле, эти плоскости делят отрезок a1c1 пополам, поэтому и любую другую наклонную из точки a1 они делят пополам (теорема Фаллеса. Точно так же, отрезку a1c между плоскостями b1d1a и bdc1 равен и отрезок от с до bdc1, поскольку эти плоскости делят отрезок ac пополам (а, следовательно, и любую другую наклонную из точки с к этим плоскостям). Получились, что диагональ a1c разделена порскостями b1d1a и bdc1 три равных отрезка, откуда и следует соотношение длин 2/1. Но это означает, что от центра КУБА до плоскости bdc1 — ровно 1/6 диагонали a1c. С учетом того, что от центра до вершины куба 1/2 диагонали, косинус угла Ф1 между большими диагоналями куба равен 1/3. Само собой, это — синус Ф. А косинус — уж найдите сами (он равен 2√3/3)
