Диагональ, скорее всего, ВЕ, так как DE — сторона. Для наглядности я проведу ВСЕ диагонали пятиугольника. Получилась звезда. Из правильности пятиугольника сразу следует, что все стороны этой звезды равны между собой (при повороте пятиугольника на угол 360/5, 2*360/5 и так далее звезда совпадает сама с собой, поэтому и равны все ее стороны*). АО — одна из сторон этой звезды. Обозначим ее длину х. Обозначим М — точку пересечения AD и ЕС (напомню еще раз: О — точка пересечения AD и ЕВ, а не ED, как НЕ ВЕРНО сказано в условии). Рассмотрим треугольник ЕАМ. В нем ЕМ=ЕО=АО=х. ЕО — биссектриса угла АЕМ, поскольку дуги АВ и ВС равны, а углы АЕВ и ВЕС вписанные, и опираются на них. Кроме того, дуга АЕ равна дуге ВС, следовательно, АВ параллельно ЕС, и — поэтому АМСВ — ромб (параллелограмм с равными соседними сторонами). Итак, АМ=АВ=а (по условию а=2); Теперь все элементарно. Из свойства биссектрисы МО/АО=МЕ/АЕ, то есть (a — x) /x=x/a; x^2 — a*x — a^2=0; x=a*(1+√5) /2 отрицательное решение отброшено). Ответ АО=1+√5*Есть еще зеркальная симметрия относительно ВМ, и других таких прямых, которые проходят через вершину пятиугольника перпендикулярно противоположной стороне. Поэтому равны соседние стороны звезды. Замечание. Треугольник ЕАМ имеет угол при вершине 36 градусов (в радианах π/5), а углы при основании ЕМ — по 72 градуса (в радианах 2*π/5). Ясно, что x/ (2*a) — это косинус угла при основании, то есть cos (2*π/5)=(1+√5) /4=sin (π/10); Таким образом, вычислены в радикалах функции углов, кратных π/10=18 градусам (получить остальные не трудно из тригонометрических формул). Я не уточнял все это, потому что это было не нужно для решения.
