Я вас должен огорчить. Я могу легко (вру — не легкопостроить много треугольников по заданной биссектрисе и положению на ней точки пересечения биссектрис. Делается это так. Пусть р=2/3; M=10Продолжим биссектрису за основание. Центр окружности радиуса M*р/ (1-р^2) лежит на этой прямой на расстоянии М/ (1-р^2) от ВЕРШИНЫ треугольника. Вы можете легко проверить, что окружность пройдет через точку пересечения биссектрис, лежащую от вершины на расстоянии М/ (1+ р). Кроме того, для любой точки этой окружности расстояния до концов биссектрисы относятся, как p (я тут в одной задачке уже показывал это, попробуйте сами доказать). Так вот, теперь из ВЕРШИНЫ биссектрисы проводится ПРОИЗВОЛЬНАЯ секущая к этой окружности, А ТАКЖЕ — СИММЕТРИЧНАЯ ЕЙ относительно биссектрисы. Первая точка пересечения секущей соединяется прямой со ВТОРОЙ точкой пересечения симметричной секущей. Полученная прямая ОБЯЗАТЕЛЬНО пройдет через конец биссектрисы (тоже докажите!). Таким образом, у нас получился треугольник, удовлетворяющий условию задачи, и угол при вершине у него произвольный в диапазоне от нуля до максимального угла, который определяется из условия, что секущая становится касательной. Соответственно, длина основания может варьироваться от расстояния между точками касания 2 касательных (посчитайте сами, это 2*M*p/корень (1-р^2)=8*корень (5) до диаметра окружности (24). Если что-то непонятно, еще раз — условию соответствует ЛЮБОЙ треугольник, построенный (по заданой биссектрисе и положению на ней точки пересечения биссектрисс) способом, который я предложил. Достаточно на построенной окружности выбрать произвольную точку, и соединить ее с концом биссектрисы, принятым за вершину, провести симметричную относительно биссектрисы линию и соединить НАКРЕСТ точки пересечения — получится треугольник, удовлетворяющий условию. Глвная тонкость в том, что такие перекрестные соединения ВСЕ пересекаются в одной точке — втором конце биссектрисы. В понедельник пришлю чертеж. Чтобы понять, что решение НЕ единственно, достаточно сразу сделать предположение, что треугольник равнобедренный. Тогда решение элементарно. А теперь пусть угол при вершине равен нулю (ну, почти). Опять таки решение получается элементарно из пропорциональности отрезков на прямой. И это будут разные решения. Можно использовать теорему косинусов и получить связь между углом при вершине Ф и длинной основанияс=cos (Ф/2)*2*М*р/ (1-р^2)=cos (Ф/2)*24. При Ф=0 как раз получится 24, но ничто не мешает взять Ф, не равное 0. Условие этому не препятствует.
