Решение. Сделаем рисунок, обозначим вершины углов трапеции привычными АВСD. Точку касания окружности с прямой, которая содержит сторону СD, обозначим Н. Середину АD обозначим М. Продолжим АВ до пересечения с продолжением СD и точку пересечения обозначим К. ВС равна половине АD по условию задачи, и потому, будучи параллельной ей, является средней линией треугольника АКD. Следовательно, КС=СD, ВК=АВ=6Соединим С с серединой М основания АD. СМ — параллельна АВ как вторая средняя линия треугольника АКD, так как АМ=МD и KC=CD. Рассмотрим треугольник МСD. Его стороны МС=6, CD=8, MD=10 и относятся как 3:4:5. Это отношение — отношение сторон египетского треугольника — и потому угол МСD- прямой. Проверив это утверждение теоремой косинусов, или, что проще, теоремой Пифагора, сможем убедиться в его верности. По той же причине (отношение сторон треугольника АКD равно 3:4:5, угол АКD также прямой, а также еще потому, что АК|| МС. Соединим центр окружности с вершинами А и В трапеции. Получим равнобедренный треугольник АОВ. Проведем высоту ОР (она же и медиана этого треугольника) к АВ. Рассмотрим четырехугольник РКНО. В нем три угла прямые: угол ОНК прямой — так как радиус ОН перпендикулярен к касательной КD, угол КРО — как угол, образованный высотой равнобедренного треугольника АОВ, угол АКН — как соответственный углу МСD, следовательно, это — прямоугольник и сторона РК=ОН=R. Так как выше доказано, что ВК=6, а РВ=половине АВ=3, РК=6+3=9 смРК=ОН=RИскомый радиус равен 9 см.
