Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием…

Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием а и углом при основании а. Все двугранные углы при основании пирамиды равны БЕТА. А) докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в ее основание. Б) докажите, что проекции на плоскость основания высот боковых граней, проведенных из вершины пирамиды, равны, и найдите их длину.

в избранное

valentin

15 июня 2023

Проводим на боковой грани — высоту (апофему). Плоскость, содержащая апофему и высоту пирамиды, перпендикулярна ребру, на которое апофема опущена. А значит, отрезок, соединяющий основание апофемы и проекцию, тоже перпендикулярен стороне основания. Поэтому проекция вершины удалена от стороны основания на расстояние, равное высоте пирамиды, умноженной на котангенс двугранного угла данной грани. Раз эти двугранные углы одинаковые, то и все расстояния одинаковые, поэтому проекция равноудалена от сторон основания, то есть это центр вписанной окружности. Доказательная часть закончена (однако замечу, что подобные утверждения вообще относятся к числу очевидных). В данном случае в основании равносторонний треугольник, в котором все совпадает, в частности, высота с медианой и биссектрисой… то есть r=1/3 высоты.r=(1/3) а*корень (3) /2; Это и есть ответ.

пользователи выбрали этот ответ лучшим

комментировать

в избранное ссылка отблагодарить

Знаете другой ответ?