На сторонах прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 построены…

1. Я продолжаю катеты за вершины острых углов — катет a на величину второго катета b, и наоборот. Если через полученные точки, отстоящие от вершины прямого угла треугольника на (a+b), провести линии параллельно катетам до пересечения, то получится квадрат со стороной (a+b). 2. Вершины квадрата, построенного на гипотенузе, лежат на сторонах построенного квадрата (подобное построение используется в одном из доказательств теоремы Пифагора).3. Если повернуть построенный квадрат (со стороной (a+b) на 90° вокруг его центра, то он перейдет «сам в себя». При этом вершины вписанного в него квадрата, построенного на гипотенузе исходного треугольника, тоже перейдут в себя. Поэтому центры этих квадратов совпадают. 4. Таким образом, отрезок p, соединяющий вершину прямого угла с центром квадрата, построенного на гипотенузе, равен половине диагонали квадрата со стороной (a+b) и образует с катетами углы в 45°. Его величина равна p=(a+b) √2/2; 5. Отрезок q, соединяющий центры квадратов, построенных на катетах, очевидно, проходит через вершину прямого угла, равен q=(a+b) √2/2 и тоже образует с катетами углы 45°. Поэтому отрезки p и q взаимно перпендикулярны, и можно считать p высотой в заданном в задаче треугольнике (при этом q — основание). Окончательно S=p*q/2=(a+b) ^2/4=(6+8) ^2/4=49