Докажите, что сумма двух сторон треугольника больше удвоенной медианы…

Нарисуем треугольник. Обозначим его вершины А, В, С. Из вершины В проведем к АС медиану, продолжим ее на ее же длину. Поставим точку В1. Соеденим В1 с вершинами треугольника А и С. Точка М — середина АС и ВМ, а АС и ВМ в то же время диагонали четырехугольника АВСВ1. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Следовательно, АВ=СВ1 и ВС=АВ1. Треугольники АВВ1 и ВСВ1 равны как половины параллелограмма. ВС=АВ1АВ + АВ1=АВ + ВСВВ1 — удвоенная медиана треугольника АВС=как третья сторона этих треугольников не может быть равна, и тем более больше, суммы сторон треугольника АВС. Сумма двух сторон треугольника больше удвоенной медианы, проведеной из той же вершины, что и требовалось доказать.